Para calcular a integral dupla ∫∫r xy.da, onde r = (x y) e os limites de integração são 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2, precisamos seguir os passos abaixo:1. Substituir r = (x y) na integral.2. Definir os limites de integração.3. Resolver a integral dupla.Primeiro, substituímos r = (x y) na integral:∫∫(x y) xy.daAgora, definimos os limites de integração:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 (x y) xy.dy.dxVamos resolver a integral interna em relação a y:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 (x^2 y – xy^2).dy.dxPara resolver a integral interna, integramos cada termo separadamente:∫ from 0 to 2 [(x^2/2)y^2 – (x/3)y^3] from 1 to 2.dxAgora, substituímos os limites de integração para y:∫ from 0 to 2 [(x^2/2)(2^2) – (x/3)(2^3)] – [(x^2/2)(1^2) – (x/3)(1^3)].dxSimplificamos os termos:∫ from 0 to 2 [(2x^2) – (8x/3)] – [(x^2/2) – (x/3)].dx∫ from 0 to 2 [2x^2 – 8x/3 – x^2/2 + x/3].dxCombinamos os termos semelhantes:∫ from 0 to 2 [3x^2/2 – 7x/3].dxAgora, integramos em relação a x:[(3/2)(x^3/3) – (7/3)(x^2/2)] from 0 to 2Simplificamos os termos:[(x^3) – (7/2)(x^2)] from 0 to 2Substituímos os limites de integração para x:[(2^3) – (7/2)(2^2)] – [(0^3) – (7/2)(0^2)]Simplificamos os termos:[8 – (7/2)(4)] – [0 – 0][8 – 14] – 0-6Portanto, o valor da integral dupla é -6.

Para resolver a integral dupla ∫∫r xy da, onde r = (x y) e os limites são 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2, precisamos seguir alguns passos.Primeiro, vamos entender a função r = (x y). Isso significa que r é uma função de duas variáveis, x e y. No entanto, a integral dupla que queremos calcular é ∫∫r xy da, onde r é multiplicado por xy.Então, a integral dupla se torna ∫∫(x y) xy da.Vamos separar a integral em duas partes:∫∫x^2 y da – ∫∫xy^2 daAgora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.Para a primeira integral, ∫∫x^2 y da:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 x^2 y dy dxPrimeiro, integramos em relação a y:∫ from 0 to 2 x^2 (y^2/2) from 1 to 2 dx∫ from 0 to 2 x^2 (4/2 – 1/2) dx∫ from 0 to 2 x^2 (3/2) dxAgora, integramos em relação a x:(3/2) ∫ from 0 to 2 x^2 dx(3/2) (x^3/3) from 0 to 2(3/2) (8/3 – 0)4Para a segunda integral, ∫∫xy^2 da:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 xy^2 dy dxPrimeiro, integramos em relação a y:∫ from 0 to 2 x (y^3/3) from 1 to 2 dx∫ from 0 to 2 x (8/3 – 1/3) dx∫ from 0 to 2 x (7/3) dxAgora, integramos em relação a x:(7/3) ∫ from 0 to 2 x dx(7/3) (x^2/2) from 0 to 2(7/3) (4/2 – 0)(7/3) 214/3Agora, subtraímos a segunda integral da primeira:4 – 14/312/3 – 14/3-2/3Portanto, o valor da integral dupla ∫∫r xy da, onde r = (x y) e os limites são 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2, é -2/3.