28 de abril de 2025

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Para calcular a integral dupla ∫∫r xy.da, onde r = (x y) e os limites de integração são 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2, precisamos seguir os passos abaixo:1. Substituir r = (x y) na integral.2. Definir os limites de integração.3. Resolver a integral dupla.Primeiro, substituímos r = (x y) na integral:∫∫(x y) xy.daAgora, definimos os limites de integração:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 (x y) xy.dy.dxVamos resolver a integral interna em relação a y:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 (x^2 y – xy^2).dy.dxPara resolver a integral interna, integramos cada termo separadamente:∫ from 0 to 2 [(x^2/2)y^2 – (x/3)y^3] from 1 to 2.dxAgora, substituímos os limites de integração para y:∫ from 0 to 2 [(x^2/2)(2^2) – (x/3)(2^3)] – [(x^2/2)(1^2) – (x/3)(1^3)].dxSimplificamos os termos:∫ from 0 to 2 [(2x^2) – (8x/3)] – [(x^2/2) – (x/3)].dx∫ from 0 to 2 [2x^2 – 8x/3 – x^2/2 + x/3].dxCombinamos os termos semelhantes:∫ from 0 to 2 [3x^2/2 – 7x/3].dxAgora, integramos em relação a x:[(3/2)(x^3/3) – (7/3)(x^2/2)] from 0 to 2Simplificamos os termos:[(x^3) – (7/2)(x^2)] from 0 to 2Substituímos os limites de integração para x:[(2^3) – (7/2)(2^2)] – [(0^3) – (7/2)(0^2)]Simplificamos os termos:[8 – (7/2)(4)] – [0 – 0][8 – 14] – 0-6Portanto, o valor da integral dupla é -6.

Para calcular a integral dupla ∫∫r xy.da, onde r = (x y) e os limites de integração são 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2, precisamos seguir os passos abaixo:1. Substituir r = (x y) na integral.2. Definir os limites de integração.3. Resolver a integral dupla.Primeiro, substituímos r = (x y) na integral:∫∫(x y) xy.daAgora, definimos os limites de integração:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 (x y) xy.dy.dxVamos resolver a integral interna em relação a y:∫ from 0 to 2 ∫ from 1 to 2 (x^2 y – xy^2).dy.dxPara resolver a integral interna, integramos cada termo separadamente:∫ from 0 to 2 [(x^2/2)y^2 – (x/3)y^3] from 1 to 2.dxAgora, substituímos os limites de integração para y:∫ from 0 to 2 [(x^2/2)(2^2) – (x/3)(2^3)] – [(x^2/2)(1^2) – (x/3)(1^3)].dxSimplificamos os termos:∫ from 0 to 2 [(2x^2) – (8x/3)] – [(x^2/2) – (x/3)].dx∫ from 0 to 2 [2x^2 – 8x/3 – x^2/2 + x/3].dxCombinamos os termos semelhantes:∫ from 0 to 2 [3x^2/2 – 7x/3].dxAgora, integramos em relação a x:[(3/2)(x^3/3) – (7/3)(x^2/2)] from 0 to 2Simplificamos os termos:[(x^3) – (7/2)(x^2)] from 0 to 2Substituímos os limites de integração para x:[(2^3) – (7/2)(2^2)] – [(0^3) – (7/2)(0^2)]Simplificamos os termos:[8 – (7/2)(4)] – [0 – 0][8 – 14] – 0-6Portanto, o valor da integral dupla é -6.

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